Dilema Tahanan dan Membuat Kue Bersama
oleh: IAF
Ketika kamu sedang bermain bersama teman-temanmu, kamu mungkin tidak terlalu berpikir keras tentang matematika di balik keputusan yang kamu buat.
Loh, memang ada matematikanya, ya? Perasaan kalau mau ambil keputusan ya tinggal pilih saja, enggak perlu pakai matematika…
Tapi hey, terdapat sebuah cabang matematika yang dapat berlaku pada interaksi sosial, tepatnya dalam pengambilan keputusan. Ia disebut dengan “game theory” atau “teori permainan”. Pertama kali dipublikasikan oleh John von Neumann pada tahun 1928, teori ini lebih terkenal lagi setelah John Nash—dengan “Ekuilibrium Nash”-nya pada tahun 1951—dibuatkan biografinya dalam novel dan film yang berjudul “A Beautiful Mind”.
Teori permainan bukanlah tentang permainan yang kita normalnya pikirkan. Permainan yang dimaksud adalah interaksi antara beberapa orang; dalam interaksi itu setiap orang dipengaruhi oleh keputusan yang dibuat oleh orang lain. Teori ini berlaku untuk hampir semua situasi tempat orang-orang berkumpul dan memperjuangkan kebutuhannya masing-masing. Cakupan teori permainan ini sangat luas, dan digunakan sepanjang waktu oleh para ekonom, politikus, ilmuwan, ahli biologi, ahli taktik militer, psikolog, dan masih banyak lagi.
Teori permainan ini mempunyai dua cabang: kooperatif, dan nonkooperatif. Teori permainan nonkooperatif mencakup interaksi sosial yang kompetitif—ada yang menang dan ada yang kalah. Mungkin percobaan pikiran[1] yang paling terkenal di cabang ini adalah the Prisoner’s Dilemma, atau Dilema Tahanan.
Teori permainan kompetitif
Dilema Tahanan menjelaskan sebuah permainan—interaksi sosial—yang melibatkan dua tahanan penjara. Kita sebut saja mereka Mira dan Joni.
Mira dan Joni ditahan setelah mencoba kabur dari tempat kejadian perkara suatu kejahatan. Berdasarkan bukti-bukti yang polisi dapatkan, mereka akan dipenjara selama dua tahun. Tetapi Sang Jaksa menginginkan hukuman yang lebih. Ia menawarkan kedua tahanan sebuah kesepakatan:
Jika di antara kalian tidak ada yang mengaku kejahatan masing-masing, kalian hanya akan dipenjara selama 2 tahun.
Jika salah satu di antara kamu mengakui kejahatanmu, dan partnermu tidak, kamu akan diberi kebebasan karena telah bersedia bekerja sama. Kamu akan bebas dari status tahanan. Tetapi partnermu akan dipenjara selama 10 tahun.
Tetapi jika kalian berdua mengaku dan mengungkapkan kejahatan satu sama lain, maka kalian berdua akan dipenjara selama 5 tahun.
Itu adalah pilihan mereka.
Lalu Mira dan Joni dipisahkan. Diasumsikan mereka tidak tahu apa yang akan partner mereka lakukan. Mereka harus membuat keputusan secara independen. Mira dan Joni mungkin sudah bersama-sama mencuri perhiasan atau apa pun itu, tetapi mereka tidak punya loyalitas terhadap satu sama lain. Mereka bukan adik dan kakak; mereka adalah penjahat. Joni tidak mempunyai alasan untuk menganggap Mira tidak akan menusuknya dari belakang (uh, sakit!), dan begitu pun sebaliknya.
Teori permainan kompetitif mengatur pilihan mereka dan potensi dari konsekuensinya ke dalam tabel sebagai berikut.
Mira
|
Joni
|
Tidak mengaku
|
Mengaku
|
Tidak mengaku
|
2/2
|
10/0
| |
Mengaku
|
0/10
|
5/5
| |
Mira bisa saja tidak mengaku, karena kalau Joni tidak mengaku, mereka hanya akan dipenjara 2 tahun. Jika mereka bisa saling percaya—secara perhitungan—pilihan ini adalah pilihan terbaik. Mira dan Joni akan menghabiskan waktu di penjara sesedikit mungkin.
Eits.. Tapi pembebasan status tahanan terdengar lebih menggiurkan, iya tidak? Jika salah satu dari mereka mengaku, dan yang lain tidak, yang mengakulah yang akan bebas. Inilah masalahnya, Mira dan Joni tidak punya alasan untuk percaya satu sama lain. Mira tidak memiliki kepastian bahwa Joni tidak akan mengaku. Jika Joni memilih untuk mengaku, dan Mira tetap diam, Mira akan dipenjara selama 10 tahun sementara Joni akan bebas.
Dibandingkan dengan pilihan tadi, pilihan 5 tahun penjara yang akan mereka dapatkan jika keduanya mengaku tidaklah terdengar begitu buruk. Pilihan inilah solusi dari teori permainan.
Mungkin kamu akan berpikir, “Wow, menyebalkan sekali teori permainan ini.” Yah, tapi pilihan terakhir itu memang benar masuk akal.
Kotak pada kolom dengan pilihan kedua tahanan mengaku adalah satu-satunya hasil yang dicapai dikenal dengan Ekuilibrium Nash—penemuan John Nash tadi.
Ekuilibrium Nash adalah konsep inti dari teori permainan kompetitif. Seorang pemain dalam permainan akan mencapai Ekuilibrium Nash saat mereka membuat keputusan yang menyebabkan posisi dirinya lebih baik dari yang lain, tak peduli apa pun keputusan lawan.
Dari sudut pandang Mira: Jika Mira mengaku dan Joni tidak, posisi Mira lebih baik, ia bebas dari penjara. Jika Mira mengaku dan Joni mengaku, ya, setidaknya dia hanya dipenjara 5 tahun—lebih baik daripada Mira diam dan Joni mengaku, 10 tahun penjara berada di depan matanya.
Memang sih, jika keduanya sehati (cie... sehati) dan tidak ada yang mengaku, mereka hanya perlu dipenjara selama 2 tahun. Tapi pilihan ini tidak bisa diandalkan, karena Mira tidak bisa mempercayai Joni—dia tidak tahu apa yang akan Joni pilih.
Permainan ini bukanlah permainan yang kooperatif. Semua pemain akan diuntungkan dengan cara menusuk satu sama lain dari belakang. (sekali lagi, sakit!)
Contoh lain dari Dilema Tahanan adalah penggunaan obat-obatan pada atlet.
Dua atlet yang saling berkompetisi mempunyai pilihan untuk menggunakan obat ilegal/berbahaya agar meningkatkan performanya. Jika tidak ada yang atlet yang menggunakan obat, maka tidak ada pula yang mendapatkan keuntungan. Jika hanya salah satu yang menggunakan obat, maka atlet tersebut mendapatkan keuntungan yang lebih dari pada kompetitornya (dengan tidak menghiraukan bahaya medis dari obat tersebut). Jika kedua atlet menggunakan obat, maka keuntungan masing-masing tidak akan berarti (saling meniadakan) dan keduanya hanya mendapatkan bahaya dari obat, menempatkan atlet-atlet tersebut pada posisi yang lebih buruk dari pada saat keduanya tidak menggunakan obat.
Dilema Tahanan hanya salah satu dari permainan kompetitif, tetapi ide pokok dari penyelesaiannya berlaku untuk semua jenis situasi. Umumnya, jika kamu sedang bersaing dengan orang lain, masuk akal untuk memilih tindakan yang paling menguntungkanmu, tidak peduli apa yang orang lain akan lakukan.
Teori permainan kooperatif
Nah, bagaimana dengan teori permainan kooperatif?
Di teori permainan kooperatif, semua pemain (kelompoknya kita sebut koalisi) harus memiliki kesepakatan untuk bekerja sama mencapai tujuan yang sama. Hal ini bisa berwujud sekelompok teman yang sedang menentukan bagaimana membagi rata biaya makan di kantin, sampai pada koalisi berbagai negara menentukan bagaimana membagi tanggung jawab dalam menghentikan perubahan iklim yang memburuk.
Masalah utama dalam cabang teori permainan ini adalah bagaimana setiap pemain harus berkontribusi kepada koalisi, dan seberapa banyak mereka harus mendapat manfaat dari koalisi tersebut. Dalam kata lain, kita harus menentukan pilihan yang paling adil.
Jika pada teori permainan kompetitif kita punya Ekuilibrium Nash, pada teori permainan kooperatif kita punya “Shapley value” atau “nilai Shapley”.
Nilai Shapley adalah metode membagi biaya/beban dan keuntungan antara pemain seusai dengan nilai kontribusi masing-masing. Konsep ini bekerja dengan beberapa aksioma[2] sebagai berikut:
Pertama, kontribusi setiap pemain ditentukan oleh seberapa banyak keuntungan atau kerugian yang diperoleh dengan cara menghapus mereka dari permainan. Ini disebut dengan kontribusi marginal.
Sebut saja setiap hari dalam seminggu ini, kamu dan temanmu membuat kue. Ketika kamu sakit dalam satu hari, temanmu memproduksi 50 kue lebih sedikit dari pada jumlah kue saat kamu ikut membuat. Jadi, kontribusi marginal kamu untuk koalisi setiap harinya adalah 50 kue.
Ke dua, pemain yang dapat ditukar mempunyai nilai yang sama. Jika dua pihak membawa hal yang sama ke dalam koalisi, maka kontribusi mereka akan sama, dan penghargaan/imbalan untuk mereka juga harus sama.
Diibaratkan dua orang memesan menu yang sama pada sebuah warung, mereka harus membayar pesanan dengan nominal yang sama pula. Jika dua pekerja mempunyai kemampuan yang sama, mereka pun harus mendapat gaji yang sama.
Ke tiga, pemain palsu/boneka memiliki nilai nol. Dalam kata lain, jika seorang anggota koalisi tidak berkontribusi, maka ia tidak boleh mendapatkan apa-apa.
Aksioma ke tiga ini dapat diartikan jika kamu makan bersama temanmu tetapi kamu tidak memesan apa pun, kamu tidak perlu ikut membayar makan. Dalam kasus ini, semuanya terlihat adil.
Tetapi ia juga dapat diartikan jika seseorang tidak dapat berkontribusi dalam suatu pekerjaan, mereka seharusnya tidak menerima kompensasi apa pun. Masalahnya, ada beberapa alasan bagus mengapa seseorang mungkin tidak dapat memberikan kontribusi: mungkin mereka mendapat kecelakaan, atau mereka sedang cuti hamil, atau mereka mempunyai cacat tubuh.
Pada situasi seperti itu, koalisi mungkin akan memberikan suatu imbalan untuk mereka terlepas dari kenyataan bahwa mereka tidak berkontribusi.
Ke empat, jika suatu permainan mempunyai beberapa bagian, maka biaya atau pembayaran harus dipecah pada bagian-bagiannya.
Artinya, jika kamu melakukan banyak pekerjaan untuk koalisi pada hari Senin, tapi kamu bermalas-malasan pada hari Selasa, imbalanmu pada tiap harinya harus berbeda. Atau jika kamu memesan daging ikan lele pada hari ini lalu memesan daging ikan salmon keesokannya, kamu mungkin harus membayar lebih di hari esok.
Dalam kata lain, tidaklah selalu adil jika kita menggunakan solusi yang sama setiap saat. Angka-angka yang ada harus ditinjau secara berkala, sehingga koalisi bisa melakukan penyesuaian. Jika kamu menemukan cara membagi biaya atau beban untuk semua pemain yang memenuhi semua aksioma, itulah nilai Shapley.
Nilai Shapley dapat dijabarkan secara matematis seperti berikut.
Ya.. ya.. daku tahu apa yang kamu pikirkan. Jadi kita lewati saja dia!
Mari kita jabarkan konsepnya menjadi sesuatu yang tidak se…matematis seperti persamaan di atas.
Katakanlah kamu sedang membuat kue (lagi), temanmu juga sedang membuat kue. Dalam satu jam, kamu bisa membuat 10 kue jika kamu bekerja sendiri. Sedangkan temanmu, pada satu jam yang sama, sendirian, bisa membuat 30 kue (master dia!). Kalian memutuskan untuk bekerja sama. Saat kalian bekerja sama, kalian dapat mengefisienkan pekerjaan kalian, sehingga dalam satu jam kalian mampu menghasilkan 60 kue. Kalau saja kalian bekerja secara sendiri-sendiri, kalian hanya akan menghasilkan 40 kue.
Kemudian kalian menjual kuenya seharga 1000 rupiah tiap buah. Semua kue laku, dan sekarang kalian mempunyai 60.000 rupiah. Bagaimana cara kalian membagi penghasilan tersebut?
Persamaan nilai Shapley memberitahu kita untuk mengatur masalah ini seperti berikut.
Dari sudut pandang kemampuanmu, kamu akan mengurangkan total produk koalisi (60 kue) dengan hasil kemampuanmu membuat kue selama satu jam (10 kue), maka kontribusi marginal temanmu padamu adalah 50 kue. Tetapi jika kita mengambil sudut pandang kemampuan temanmu, kamu akan mengurangkan total produk koalisi dengan hasil kemampuan temanmu membuat kue dalam satu jam (30 kue), maka kontribusi marginalmu kepada temanmu adalah 30 kue.
Pada kasus pertama, nilai kontribusimu kepada koalisi hanya 10 kue. Sedangkan pada kasus ke dua, nilai kontribusimu kepada koalisi sebesar 30 kue. Menurut persamaan nilai Shapley, untuk menemukan seberapa besar imbalanmu, kamu harus mengambil rata-rata dari kedua nilai tersebut.
Jadi, persamaan nilai Shapley berkata bahwa kamu harus mendapat upah 20.000 rupiah, dan temanmu mendapatkan 40.000 rupiah.
Metode ini dapat digunakan dengan koalisi yang terdiri dari ribuan pemain, dengan cara menemukan kontribusi marginal mereka kepada setiap pemain lainnya lalu menghitung rata-ratanya.
Sebenarnya, interaksi-interaksi yang ada di dunia bisa menjadi lebih rumit daripada masalah Dilema Tahanan atau membuat kue bersama-sama, jadi masih banyak hal yang dapat dibahas oleh teori permainan.
Dari sini, kita dapat membuat suatu kesimpulan:
Dalam situasi yang kompetitif, teori permainan membantumu menjadi cerdas dalam membuat keputusan. Dan dalam situasi kooperatif, teori permainan dapat memberitahumu bagaimana bersikap adil.
Hikmah pribadi yang bisa penulis ambil yakni jika orang-orang atau perusahaan secara rasional ingin memenuhi kepentingan mereka sendiri, hasil terbaik akan sulit untuk dicapai ketika mereka tidak dapat atau tidak mau bekerja sama.
By the way, it’s just a theory. ;)
Transkripsi dari video SciShow: Game Theory – The Science of Decision Making (https://www.youtube.com/watch?v=MHS-htjGgSY) dengan perubahan seperlunya.
Lebih banyak tentang teori permainan:
http://www.gametheory.net/
http://en.wikipedia.org/wiki/Game_Theory
http://levine.sscnet.ucla.edu/general/whatis.htm
[1]percobaan pikiran = thought experiment, percobaan yang hanya dilakukan dalam imajinasi
[2]aksioma = pernyataan yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpa pembuktian
Posting Komentar